问题描述

编写用牛顿迭代法求方程根的函数。方程为ax3+bx2+cx+d=0，系数a、b、c、d由主函数输入，求x在1附近的一个实根。求出根后，由主函数输出。牛顿迭代法的公式

设迭代到|x-x0| ≤10-5时结束。

问题分析

牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上找到比x0更接近的方程根，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似根。

设r是f(x)=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点(x0 ,f(x0))做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标x1=x0-f(x0 )/f'(x0)，称x1为r的一次近似值；过点(x1,f(x2))做曲线y=f(x)的切线，并求出该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值；重复以上过程，得到r的近似值xn 。上述过程即为牛顿迭代法的求解过程。

算法设计

程序流程分析：

  1. 在1附近找任一实数作为x0的初值，我们取1.5，即x0=1.5。
  2. 用初值x0代入方程中计算此时的f(x0 )及f'(x0 )；程序中用变量f描述方程的值，用fd描述方程求导之后的值。
  3. 计算增量h=f/fd。
  4. 计算下一个x，x=x0-h。
  5. 用新产生的x替换原来的x0，为下一次迭代做好准备。
  6. 若|x-x0|＞=1e-5，则转到步骤（3）继续执行，否则转到步骤（7）。
  7. 所求x就是方程ax3+bx2+cx+d=0的根，将其输出。

确定程序框架

该程序的主体结构如下：

if __name__ == '__main__':
    # 输入方程的系数

    # 用牛顿迭代法求方程的根

    # 输出所求方程的根

程序流程图如下图所示。

迭代法求方程根

编写程序时要注意的一点是判定|x-x0|＞=1e-5，许多初学者认为判定条件应该是|x-x0|<1e-5，从牛顿迭代法的原理可以看出，迭代的实质就是越来越接近方程根的精确值，最初给x0

所赋初值与根的精确值是相差很多了，正是因为这个我们才需要不断地进行迭代，也就是程序中循环体的功能。在经过一番迭代之后所求得的值之间的差别也越来越小，直到求得的某两个值的差的绝对值在某个范围之内时便可结束迭代。若我们把判定条件改为|x-x0|<1e-5，则第一次的判断结果必为假，这样我们就不能进入循环体再次执行。希望初学者对于本类题目条件的判定要多加注意。

定义solution()函数求方程的根。solution()函数的代码如下：

#函数功能是用牛顿迭代法求方程的根
def solution(a, b, c, d):
    x = 1.5
    x0 = x                                                  # 用所求得的x的值代替x0原来的值
    # f用来描述方程的值，fd用来描述方程求导之后的值
    f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d
    fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c
    h = f / fd
    x = x0 - h                                      # 求得更接近方程根的x的值
    while abs(x - x0) >= 1e-5:
        x0 = x
        f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d
        fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c
        h = f / fd
        x = x0 - h                                  # 求得更接近方程根的x的值
    return x

完整的程序

根据上面的分析，编写程序如下：

# 函数功能是用牛顿迭代法求方程的根
def solution(a, b, c, d):
    x = 1.5
    x0 = x                                                          # 用所求得的x值代替x0原来的值
    # f用来描述方程的值，fd用来描述方程求导之后的值
    f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d
    fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c
    h = f / fd
    x = x0 - h                                              # 求得更接近方程根的x值
    while abs(x - x0) >= 1e-5:
        x0 = x
        f = a * x0 * x0 * x0 + b * x0 * x0 + c * x0 + d
        fd = 3 * a * x0 * x0 + 2 * b * x0 + c
        h = f / fd
        x = x0 - h                                          # 求得更接近方程根的x值

    return x


if __name__ == '__main__':
    print("请输入方程的系数：")
    # a,b,c,d代表所求方程的系数
    a, b, c, d = map(float, input().split())
    print("方程的参数为：" , a, b, c, d)
    # x用来记录求得的方程根
    x = solution(a, b, c, d)
    print("所求方程的根为x=%.6f"% x)

运行结果

在VScode下运行程序，结果如下图所示。